狭义相对论：洛伦兹变换

洛伦兹变换阐述了不同观测者在不同惯性参照系观测同一事件时所得到时空坐标的相互关系。

考虑以下场景：

• 两个惯性系统$oxyz$和$o'x'y'z'$，其中$xx'$轴彼此重合；
• $o'x'y'z'$系统以$u$的速度沿$x$方向从$oxyz$的左边靠近，继而越过它，并继而以$u$的速度离开它；
• 当$o$及$o'$重合时，定它们在原点上的时钟之读数为$t_{o} = t_{o}' = 0$。
• 考虑一事件$P$：从惯性系统$oxyz$观测到此事件的时空坐标为$(x_p,y_p,z_p,t_p)$，而从惯性系统$o'x'y'z'$观测则为$(x_p',y_p',z_p',t_p')$。

在经典力学中，当$o$及$o'$重合时，此事件的$x_p'=x_p$。经过时间$t$后，可算得$x_p'=x_p - ut$，时间一样皆为$t_p'=t_p$。在此为避免混淆用脚注$p$以强调事件发生在$P$点上，但一般上写此方程时不使用这脚注。即， 在经典力学中，有此伽俐略转换式：
$$x'=x - ut \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=t$$
（没脚注的$x,y,z,t,x',y',z',t'$都指事件$P$发生的地点和时间。）

根据狭义相对论，则应使用洛伦兹变换：
$$x'=\frac{x - ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y'=y \\ z'=z \\ t' = \frac{t - \frac{u}{c^2} x}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

例题：甲乙两人沿$x$轴作相对运动，甲测得两个事件1及事件2的发生的地点及时刻为$x_1 = 6 \times 10^{4} \,  \, \mathrm{m}, y_1 = z_1 = 0, t_1 = 2 \times 10^{-4} \, \mathrm{s}$; $x_2 = 12 \times 10^{4} \, \mathrm{m}, y_2 = z_2 = 0, t_2 = 1 \times 10^{-4} \, \mathrm{s}$。乙测得这两个事件同时发生于$t'$时刻。问乙对于甲的运动速度$u$是多少？乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？

解：对于甲与乙之间的关系，仅需一参量即速度$u$形容。每个事件都有各自的洛伦兹变换方程。这儿有两个事件1及2，所以有两个方程组要考虑。（为了便于理解，在此列出完整的方程组，实际解题时不需列出多余的方程。）

设甲和乙对事件1所测得的时空坐标为分别为$(x_1,y_1,z_1,t_1)$和$(x_1',y_1',z_1',t_1')$。则
$$x_1' =  \frac{x_1 - ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y_1' = y_1 \\ z_1' = z_1 \\ t_1' =  \frac{t_1 - \frac{u}{c^2} x_1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

设甲和乙对事件2所测得的时空坐标为分别为$(x_2,y_2,z_2,t_2)$和$(x_2',y_2',z_2',t_2')$。则
$$x_2' =  \frac{x_2 - ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y_2' = y_2 \\ z_2' = z_2 \\ t_2' =  \frac{t_2 - \frac{u}{c^2} x_2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$

此两组方程式中的$u$都有相同的值。

先找$u$。根据题意，$t' = t_1' = t_2'$，所以：
$$\frac{t_1 - \frac{u}{c^2} x_1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} =  \frac{t_2 - \frac{u}{c^2} x_2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ t_1 - \frac{u}{c^2} x_1 = t_2 - \frac{u}{c^2} x_2 \\ 2 \times 10^{-4} \, \mathrm{s} - \frac{u}{c^2} \times (6 \times 10^{4} \, \mathrm{m}) = 1 \times 10^{-4} \, \mathrm{s} - \frac{u}{c^2} \times (12 \times 10^{4} \, \mathrm{m}) \\ 2c^{2} \, \mathrm{s} - 6 \times 10^{8} u \, \mathrm{m} = c^2 \, \mathrm{s} - 12 \times 10^{8} u \, \mathrm{m} \\ 6 \times 10^{8} \times u \, \mathrm{m} = - c^2 \, \mathrm{s} \\ 2 \, \mathrm{s} \times (3 \times 10^{8} \mathrm{ms}^{-1}) \times u = - c^2 \, \mathrm{s} \\ 2cu = - c^2 \\ u = - \frac{c}{2}$$

乙所测得的空间间隔为：
$$x_2' - x_1' =  \frac{(x_2 - x_1) - u (t_2 - t_1)}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ = \frac{(12 \times 10^4 - 6 \times 10^4) - (-1.5 \times 10^8) (1 \times 10^{-4}  - 2 \times 10^{-4})}{\sqrt{1-(-\frac{1}{2})^2}} \, \mathrm{m} \\ = 5.2 \times 10^4 \, \mathrm{m}$$

力学：两块叠在一起的木块

问题：

一质量为$m_B=2\, \mathrm{kg}$的木块B放在光滑的桌面上。另一质量为$m_A=1\, \mathrm{kg}$的木块A则叠放在木块B上，木块间的静摩擦力$f$的最大值为$5N$。用水平力$F$向右拉木块B，当拉力大小分别为$F=10N$和$F=20N$时，A、B的加速度各多大？（设最大静摩摖力等于滑动摩摖力）

要点：

拉木块B时，木块A可能会因静摩擦力足够而一起前进，也可能不足而"跟不上"B的加速度，所以一直要检验摩擦力的值是否合理。

解法一：

拉力为$10N$时，整体（木块A和B）"可能"（仅为"可能"，因为待会还要检查静摩擦力是否合理）的加速度为

$$a_B = a_{AB} = \frac{F}{m_A+m_B} = \frac{10N}{3\, \mathrm{kg}} = \frac{10}{3} \, ms^{-2}$$

现仅考虑木块B以算出静摩擦力的大小：

$$\Sigma F_B = F - f = m_B a_B \\ 10N - f = 2 \, \mathrm{kg} \times \frac{10}{3} \, ms^{-2} \\ 10N - f = \frac{20}{3}N \\ f = \frac{10}{3} N = 3 \frac{1}{3} N$$

此值小于静摩擦力$f$的最大值为$5N$，合理。所以木块A与木块B的加速度相同，即$a_A = a_B$。也就是说，木块A与木块B同时前进，或它们相对静止。也可用此摩擦力的值重新计算或验证A的加速度：

$$a_A = \frac{f}{m_a} = \frac{3 \frac{1}{3} N}{1 \, \mathrm{kg}} = 3 \frac{1}{3} \, ms^{-2} = a_B$$

拉力为$20N$时，整体（木块A和B）"可能"的加速度为

$$a_B = a_{AB} = \frac{F}{m_A+m_B} = \frac{20N}{3\, \mathrm{kg}} = \frac{20}{3} \, ms^{-2}$$

现仅考虑木块B以算出静摩擦力的大小：

$$\Sigma F_B = F - f = m_B a_B \\ 20N - f = 2 \, \mathrm{kg} \times \frac{20}{3} \, ms^{-2} \\ 20N - f = \frac{40}{3}N \\ f = \frac{20}{3} N = 6 \frac{2}{3} N$$

此值大于静摩擦力$f$的最大值为$5N$，说明拉力较大为$20N$时，静摩擦力"不给力"而无法拉着木块A以与木块B同时前进，即它们之间发生了相对滑动。即然静摩擦力达不到$6 \frac{2}{3} N$，之前"可能"的加速度也算不准了：因摩擦力较小，所以其值也应较大了。

现仅考虑木块B并设摩擦力$f=5N$以重算B的加速度：

$$\Sigma F_B = F - f = m_B a_B \\ 20N - 5N = 2 \, \mathrm{kg} \times a_B \\ a_B = \frac{15}{2} \, ms^{-2} = 7 \frac{1}{2} \, ms^{-2}$$

计算A的加速度：

$$a_A= \frac{f}{m_A} = 5N \times 1 \, \mathrm{kg} = 5 \, ms^{−2}$$

（以下是额外的计算了，题目没要求算）

即然木块A的加速度较小，最终会掉下来。此时各木块的加速度为何？

木块A掉下来后，因无外力，加速度为$0 ms^{-2}$作匀速直线运动。

没摩擦力后，木块B的加速度为$a_B = \frac{F}{m_B} = \frac{20}{2} \, ms^{-2} = 10 \, ms^{-2}$

解法二：

先找出当静摩擦力$f$为最大值$5N$时，木块A相对于桌面的最大加速度：

$$a_A= \frac{f}{m_A} = 5N \times 1 \, \mathrm{kg} = 5 \, ms^{−2}$$

在计算出可能的整体加速度后，就可更早地判断出木块间是否有发生了相对滑动。若发生了相对滑动才要重算B的加速度。

力学：运动员坐在吊椅上拉自己上去

问题：

一根不可伸缩的轻绳跨过一定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住。运动员向下拉绳子，可使他和吊椅一起向上作加速运动。
设运动员的质量$m_{运}=65\mathrm{kg}$，吊椅的质量为$m_{椅}=15\mathrm{kg}$，不计定滑轮与绳子间的摩擦。当运动员与吊椅一起正以加速度$a=1\,ms^{-2}$上升时，试求：
 (a) 运动员向下拉绳的力，
 (b) 运动员对吊椅的压力。
重力加速度取$g=10ms^{-2}$。

解法一：

运动员在拉绳子的过程中，他可能会因为绳子的拉力而"浮"起来一点，也会因为他拉的吊椅而帮忙"托"他上来（支持力），所以我们可将他和吊椅分开来算。

$T$：绳子张力
$m_{绳}$：绳子质量$=0 \, \mathrm{kg}$
$F$：拉力
$F_N$：运动员对吊椅的压力（也是吊椅对运动员的支持力）

绳子：
$$T - F = m_{绳}g \\   T = F$$
（这步简单，也可省略，直接当椅子受到的绳子拉力$=F$）

运动员：
（这里的$F$和上式的$F$互为反作用力：运动员要拉下绳子、绳子有拉力拉回他）
$$F + F_N - m_{运} g = m_{运} a \\   F + F_N - 650N = 65N \\   F + F_N = 715N \quad \ldots (1)$$

吊椅：
$$F - F_N - m_{架} g = m_{架} a \\   F - F_N - 150N = 15N \\   F - F_N = 165N \quad \ldots (2) \\ $$
$$(1)+(2): \\ \quad \quad 2F = 880N \\ \quad \quad F = 440N \\ (1)-(2): \\ \quad \quad 2F_N = 550N \\ \quad \quad F_N = 275N$$

解法二：

可以将运动员和吊椅当成一整体计算，不过"麻烦"的是要看得出：绳子拉了运动员，力为F，也拉了吊椅F，力也为F，共2F。

那么（暂时就不需考虑运动员与吊椅之间的压力/支持力）：

$$2F - (m_{运}+m_{椅})g = (m_{运}+m_{椅})a \\   2F - 800N = 80N \\   2F = 880N \\   F = 440N$$
运动员（也可用吊椅算）：
$$F + F_N - m_{运}g = m_{运}a \\   440N + F_N - 650N = 65N \\   F_N = 275N$$