力学：两块叠在一起的木块

问题：

一质量为\(m_B=2\, \mathrm{kg}\)的木块B放在光滑的桌面上。另一质量为\(m_A=1\, \mathrm{kg}\)的木块A则叠放在木块B上，木块间的静摩擦力\(f\)的最大值为\(5N\)。用水平力\(F\)向右拉木块B，当拉力大小分别为\(F=10N\)和\(F=20N\)时，A、B的加速度各多大？（设最大静摩摖力等于滑动摩摖力）

要点：

拉木块B时，木块A可能会因静摩擦力足够而一起前进，也可能不足而"跟不上"B的加速度，所以一直要检验摩擦力的值是否合理。

解法一：

拉力为\(10N\)时，整体（木块A和B）"可能"（仅为"可能"，因为待会还要检查静摩擦力是否合理）的加速度为

$$ a_B = a_{AB} = \frac{F}{m_A+m_B} = \frac{10N}{3\, \mathrm{kg}} = \frac{10}{3} \, ms^{-2} $$

现仅考虑木块B以算出静摩擦力的大小：

$$ \Sigma F_B = F - f = m_B a_B \\ 10N - f = 2 \, \mathrm{kg} \times \frac{10}{3} \, ms^{-2} \\ 10N - f = \frac{20}{3}N \\ f = \frac{10}{3} N = 3 \frac{1}{3} N $$

此值小于静摩擦力\(f\)的最大值为\(5N\)，合理。所以木块A与木块B的加速度相同，即\(a_A = a_B\)。也就是说，木块A与木块B同时前进，或它们相对静止。也可用此摩擦力的值重新计算或验证A的加速度：

$$ a_A = \frac{f}{m_a} = \frac{3 \frac{1}{3} N}{1 \, \mathrm{kg}} = 3 \frac{1}{3} \, ms^{-2} = a_B $$

拉力为\(20N\)时，整体（木块A和B）"可能"的加速度为

$$ a_B = a_{AB} = \frac{F}{m_A+m_B} = \frac{20N}{3\, \mathrm{kg}} = \frac{20}{3} \, ms^{-2} $$

现仅考虑木块B以算出静摩擦力的大小：

$$ \Sigma F_B = F - f = m_B a_B \\ 20N - f = 2 \, \mathrm{kg} \times \frac{20}{3} \, ms^{-2} \\ 20N - f = \frac{40}{3}N \\ f = \frac{20}{3} N = 6 \frac{2}{3} N $$

此值大于静摩擦力\(f\)的最大值为\(5N\)，说明拉力较大为\(20N\)时，静摩擦力"不给力"而无法拉着木块A以与木块B同时前进，即它们之间发生了相对滑动。即然静摩擦力达不到\(6 \frac{2}{3} N\)，之前"可能"的加速度也算不准了：因摩擦力较小，所以其值也应较大了。

现仅考虑木块B并设摩擦力\(f=5N\)以重算B的加速度：

$$ \Sigma F_B = F - f = m_B a_B \\ 20N - 5N = 2 \, \mathrm{kg} \times a_B \\ a_B = \frac{15}{2} \, ms^{-2} = 7 \frac{1}{2} \, ms^{-2} $$

计算A的加速度：

$$ a_A= \frac{f}{m_A} = 5N \times 1 \, \mathrm{kg} = 5 \, ms^{−2} $$

（以下是额外的计算了，题目没要求算）

即然木块A的加速度较小，最终会掉下来。此时各木块的加速度为何？

木块A掉下来后，因无外力，加速度为\(0 ms^{-2}\)作匀速直线运动。

没摩擦力后，木块B的加速度为\(a_B = \frac{F}{m_B} = \frac{20}{2} \, ms^{-2} = 10 \, ms^{-2}\)

解法二：

先找出当静摩擦力\(f\)为最大值\(5N\)时，木块A相对于桌面的最大加速度：

$$ a_A= \frac{f}{m_A} = 5N \times 1 \, \mathrm{kg} = 5 \, ms^{−2} $$

在计算出可能的整体加速度后，就可更早地判断出木块间是否有发生了相对滑动。若发生了相对滑动才要重算B的加速度。