狭义相对论：洛伦兹变换

洛伦兹变换阐述了不同观测者在不同惯性参照系观测同一事件时所得到时空坐标的相互关系。

考虑以下场景：

• 两个惯性系统\(oxyz\)和\(o'x'y'z'\)，其中\(xx'\)轴彼此重合；
• \(o'x'y'z'\)系统以\(u\)的速度沿\(x\)方向从\(oxyz\)的左边靠近，继而越过它，并继而以\(u\)的速度离开它；
• 当\(o\)及\(o'\)重合时，定它们在原点上的时钟之读数为\(t_{o} = t_{o}' = 0\)。
• 考虑一事件\(P\)：从惯性系统\(oxyz\)观测到此事件的时空坐标为\((x_p,y_p,z_p,t_p)\)，而从惯性系统\(o'x'y'z'\)观测则为\((x_p',y_p',z_p',t_p')\)。

在经典力学中，当\(o\)及\(o'\)重合时，此事件的\(x_p'=x_p\)。经过时间\(t\)后，可算得\(x_p'=x_p - ut\)，时间一样皆为\(t_p'=t_p\)。在此为避免混淆用脚注\(p\)以强调事件发生在\(P\)点上，但一般上写此方程时不使用这脚注。即， 在经典力学中，有此伽俐略转换式：
$$ x'=x - ut \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=t $$
（没脚注的\(x,y,z,t,x',y',z',t'\)都指事件\(P\)发生的地点和时间。）

根据狭义相对论，则应使用洛伦兹变换：
$$ x'=\frac{x - ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y'=y \\ z'=z \\ t' = \frac{t - \frac{u}{c^2} x}{\sqrt{1-u^2/c^2}} $$

例题：甲乙两人沿\(x\)轴作相对运动，甲测得两个事件1及事件2的发生的地点及时刻为\(x_1 = 6 \times 10^{4} \,  \, \mathrm{m}, y_1 = z_1 = 0, t_1 = 2 \times 10^{-4} \, \mathrm{s}\); \(x_2 = 12 \times 10^{4} \, \mathrm{m}, y_2 = z_2 = 0, t_2 = 1 \times 10^{-4} \, \mathrm{s}\)。乙测得这两个事件同时发生于\(t'\)时刻。问乙对于甲的运动速度\(u\)是多少？乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？

解：对于甲与乙之间的关系，仅需一参量即速度\(u\)形容。每个事件都有各自的洛伦兹变换方程。这儿有两个事件1及2，所以有两个方程组要考虑。（为了便于理解，在此列出完整的方程组，实际解题时不需列出多余的方程。）

设甲和乙对事件1所测得的时空坐标为分别为\((x_1,y_1,z_1,t_1)\)和\((x_1',y_1',z_1',t_1')\)。则
$$ x_1' =  \frac{x_1 - ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y_1' = y_1 \\ z_1' = z_1 \\ t_1' =  \frac{t_1 - \frac{u}{c^2} x_1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} $$

设甲和乙对事件2所测得的时空坐标为分别为\((x_2,y_2,z_2,t_2)\)和\((x_2',y_2',z_2',t_2')\)。则
$$ x_2' =  \frac{x_2 - ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ y_2' = y_2 \\ z_2' = z_2 \\ t_2' =  \frac{t_2 - \frac{u}{c^2} x_2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} $$

此两组方程式中的\(u\)都有相同的值。

先找\(u\)。根据题意，\(t' = t_1' = t_2'\)，所以：
$$ \frac{t_1 - \frac{u}{c^2} x_1}{\sqrt{1-u^2/c^2}} =  \frac{t_2 - \frac{u}{c^2} x_2}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\
t_1 - \frac{u}{c^2} x_1 = t_2 - \frac{u}{c^2} x_2 \\
2 \times 10^{-4} \, \mathrm{s} - \frac{u}{c^2} \times (6 \times 10^{4} \, \mathrm{m}) = 1 \times 10^{-4} \, \mathrm{s} - \frac{u}{c^2} \times (12 \times 10^{4} \, \mathrm{m}) \\
2c^{2} \, \mathrm{s} - 6 \times 10^{8} u \, \mathrm{m} = c^2 \, \mathrm{s} - 12 \times 10^{8} u \, \mathrm{m} \\
6 \times 10^{8} \times u \, \mathrm{m} = - c^2 \, \mathrm{s} \\
2 \, \mathrm{s} \times (3 \times 10^{8} \mathrm{ms}^{-1}) \times u = - c^2 \, \mathrm{s} \\
2cu = - c^2 \\
u = - \frac{c}{2} $$

乙所测得的空间间隔为：
$$ x_2' - x_1' =  \frac{(x_2 - x_1) - u (t_2 - t_1)}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\
= \frac{(12 \times 10^4 - 6 \times 10^4) - (-1.5 \times 10^8) (1 \times 10^{-4}  - 2 \times 10^{-4})}{\sqrt{1-(-\frac{1}{2})^2}} \, \mathrm{m} \\
= 5.2 \times 10^4 \, \mathrm{m} $$